Προεπιστήμονες (“φυσικοί φιλόσοφοι”) της αρχαίας Ελλάδας (μέρος γ΄)

Επισκέπτης

Η γεωμετρία άρχισε να αναπτύσσεται αρχικά στη Μέση Ανατολή και στην Αίγυπτο, αλλά μόνο για πρακτκούς σκοπούς, όπως ήδη αναφέρθηκε στην εισαγωγή. Στην Ελλάδα εισήχθη η αποδεικτική μέθοδος, που — επίσης όπως ήδη αναφέρθηκε — μας καθιστά 100% βέβαιους για τα συμπεράσματα που συνάγουμε. Ας δούμε ένα απλούστατο παράδειγμα μαθηματικής απόδειξης.

Κάθε απόδειξη ξεκινάει από κάποιες υποθέσεις, και με χρήση της λογικής, καταλήγει σε κάποιο συμπέρασμα. Στη γεωμετρία, οι πρωταρχικές υποθέσεις που γίνονται δεκτές χωρίς περαιτέρω απόδειξη (γιατί από κάπου πρέπει να ξεκινήσει κανείς) λέγονται αξιώματα, ενώ το συμπέρασμα λέγεται θεώρημα. Ιδού ένα παράδειγμα θεωρήματος που αποδεικνύεται βάσει ενός αξιώματος:

Αξίωμα: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία γραμμή.

Θεώρημα: Δύο διαφορετικές ευθείες μπορούν να τέμνονται μόνο σε το πολύ ένα σημείο.

Το ερώτημα είναι πώς αποδεικνύουμε το θεώρημα βασιζόμενοι στο αξίωμα. Σκεφτόμαστε λογικά, ως εξής: Ας υποθέσουμε οτι, αντίθετα με το θεώρημα, δύο διαφορετικές ευθείες Ε1 και Ε2 μπορούν να τέμνονται σε περισσότερα από ένα σημεία — ας τα πούμε Σ1 και Σ2. Άρα τόσο η Ε1 όσο και η Ε2 διέρχονται από τα Σ1 και Σ2. Όμως αυτό είναι αντίθετο με το αξίωμα, που λέει οτι από τα δύο σημεία Σ1 και Σ2 μπορεί να διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία γραμμή, όχι δύο. Άρα η υπόθεση που κάναμε (οτι δηλαδή δύο διαφορετικές ευθείες μπορούν να τέμνονται σε περισσότερα από ένα σημεία), που ήταν αντίθετη του θεωρήματος, δεν είναι σωστή. Άρα είναι σωστή η αντίθετή της, που είναι ακριβώς το θεώρημα που θέλαμε να αποδείξουμε.

Η παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιεί τη μέθοδο της “εις άτοπο απαγωγής”· δηλαδή, υποθέτουμε το αντίθετο αυτού που θέλουμε να αποδείξουμε, βρίσκουμε οτι αυτό δεν είναι δυνατό (καταλήγουμε σε άτοπο), άρα συμπεραίνουμε αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε.

Προεπιστήμονες (“φυσικοί φιλόσοφοι”) της αρχαίας Ελλάδας (μέρος γ΄) Euclid

Ευκλείδης

Η γεωμετρία συστηματοποιήθηκε — δηλαδή διατυπώθηκε σαν ένα σύστημα αξιωμάτων από τα οποία έπονται θεωρήματα — από τον Έλληνα γεωμέτρη Ευκλείδη, για τη ζωή του οποίου γνωρίζουμε από ελάχιστα πράγματα έως τίποτα. Γνωρίζουμε π.χ. οτι έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου κατά τον 3^ο αιώνα π.Χ. Το έργο-του όμως, τα περίφημα Στοιχεία, παρέμειναν σαν το κατεξοχήν σχολικό εγχειρίδιο στο μάθημα της γεωμετρίας για περίπου 22 αιώνες, και μόνο κατά τον 20^ό αιώνα άρχισαν να εμφανίζονται σχολικά εγχειρίδια που παρουσίαζαν τη γεωμετρία με τρόπο παρόμοιο αλλά οχι ταυτόσημο με αυτόν του Ευκλείδη. Εικάζεται οτι το μόνο βιβλίο που έχει τυπωθεί σε περισσότερα αντίτυπα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι η χριστιανική Βίβλος.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη πρέπει να γράφτηκαν γύρω στο 300 π.Χ., αποτελούνται από 13 βιβλία, και καλύπτουν θέματα όχι μόνο της γεωμετρίας του επιπέδου, αλλά και της γεωμετρίας του χώρου (“στερεομετρίας”), όπως και της θεωρίας αριθμών (“αριθμοθεωρίας”). Το πρώτο βιβλίο ξεκινά με ένα σύνολο από 23 ορισμούς, ακολουθούμενους από τα 5 περίφημα “αιτήματα”, που λέγονται έτσι γιατί ζητείται (“αιτείται”) από τον αναγνώστη να τα δεχτεί σαν ορθά χωρίς μαθηματική απόδειξη. Τα αιτήματα αυτά, και ιδίως το 5^ο, έπαιξαν σπουδαίο ρόλο στη μετέπειτα ανάπτυξη της επιστήμης μέχρι και τον 20^ό αιώνα, επομένως είναι χρήσιμο να τα δούμε πιο προσεκτικά.

Τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη είναι τα εξής:

Αίτημα 1^ο:
᾿Ηιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Δηλαδή: Έστω οτι από κάθε σημείο προς κάθε σημείο είναι δυνατό να φερθεί ευθεία.

Αίτημα 2^ο:
Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν.
Και μία πεπερασμένη ευθεία μπορεί να προεκταθεί συνεχώς σε ευθεία κατεύθυνση.

Αίτημα 3^ο:
Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
Και με κάθε κέντρο και διάστημα γράφεται κύκλος.

Αίτημα 4^ο:
Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ-τους.

Τέλος, ακολουθεί το περίφημο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, που θα δούμε αργότερα ποιο ρόλο έπαιξε κατά το 19^ο – 20^ό αιώνα:

Αίτημα 5^ο:
Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Και αν ευθεία τέμνει δύο ευθείες και κάνει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε προεκτεινόμενες οι δύο ευθείες επ’ άπειρον τέμνονται στη μεριά όπου είναι οι γωνίες οι μικρότερες των δύο ορθών.

Όπως βλέπουμε, το 5^ο αίτημα ακούγεται πολύπλοκο. Σχηματικά, το καταλαβαίνουμε στο παρακάτω διάγραμμα:

Προεπιστήμονες (“φυσικοί φιλόσοφοι”) της αρχαίας Ελλάδας (μέρος γ΄) Euclid_5th_postulate1

Η ε₁ είναι η ευθεία που «τέμνει δύο ευθείες» (τις ε₂ και ε₃). Εφόσον το άθροισμα των δύο γωνιών (που είναι σημειωμένες με τις μικρές κυρτές γραμμές) είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, το 5^ο αίτημα λέει οτι οι ε₂ και ε₃ θα πρέπει να τέμνονται προς τη ίδια πλευρά της ε₁ όπου βρίσκονται και οι γωνίες.

Η σημασία της Ευκλείδειας γεωμετρίας για την επιστήμη είναι διπλή.

Πρώτα-πρώτα, μέσω της γεωμετρίας γαλουχήθηκαν στην ορθολογική σκέψη εκατομμύρια νέοι στο Δυτικό κόσμο και πολιτισμό. Όταν εκπαιδεύεται κανείς στη γεωμετρία, δεν μαθαίνει επιφανειακά τα θεωρήματα και τις αποδείξεις-τους μόνο, αλλά εμπεδώνει σε ένα βαθύτερο (πιο αφηρημένο) επίπεδο τον ορθολογικό τρόπο σκέψης, δηλαδή της λογικής εξαγωγής συμπερασμάτων βάσει των δεδομένων υποθέσεων. Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι εξαιρετικό εργαλείο για το σκοπό αυτό.

Και δεύτερο, η Ευκλείδεια γεωμετρία περιγράφει τον κόσμο έτσι όπως μας τον παρουσιάζουν οι αισθήσεις-μας. Δηλαδή, ο κόσμος στον οποίο ζούμε δεν είναι ακριβώς Ευκλείδειος στην πραγματικότητα, αλλά μόνο κατά προσέγγιση Ευκλείδειος. (Εδώ ας θυμηθούμε και την Αλληγορία του Σπηλαίου, του Πλάτωνα: οι αισθήσεις μας παρουσιάζουν μόνο σκιές από την πραγματικότητα στον τοίχο του σπηλαίου.) Αυτό που συνέβει λοιπόν στην επιστήμη είναι οτι αναπτύχθηκε μια ολόκληρη φυσική θεωρία, η λεγόμενη Κλασική Μηχανική, ή Νευτώνεια φυσική, που έμμεσα προϋποθέτει έναν Ευκλείδειο κόσμο (συγκεκριμένα έναν κόσμο όπου ο χρόνος είναι κάτι το ξεχωριστό, ανεξάρτητο από το χώρο). Όταν όμως τα δεδομένα από τις όλο και πιο λεπτομερείς παρατηρήσεις άρχισαν να διαφωνούν με το μοντέλο του Ευκλείδειου κόσμου, έγινε η “επανάσταση” στη φυσική μέσω της θεωρίας της σχετικότητας, του Αϊνστάιν, όπου απορρίφθηκε το Ευκλείδειο μοντέλο για τον κόσμο και χρησιμοποιήθηκαν άλλα μοντέλα, από μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες που είχαν ήδη αναπτυχθεί κατά το 19^ο αιώνα. (Στη σχετικιστική γεωμετρία ο χρόνος δεν είναι ανεξάρτητος του χώρου, αλλά κάθε χρονικό διάστημα εμπεριέχει ένα χωρικό, και αντίστροφα: κάθε χωρικό διάστημα εμπεριέχει ένα χρονικό. Έτσι μιλάμε για το χωροχρόνο σαν ένα “τετραδιάστατο συνεχές”.) Η πορεία επομένως της γεωμετρικής σκέψης βάδισε παράλληλα με εκείνη της φυσικής, και κατ’ επέκταση και της επιστημονικής σκέψης, καθώς η φυσική βρίσκεται πάντα στο κέντρο, στην κατ’ εξοχήν “καρδιά” της επιστήμης.

Επισκέπτης

ΠΗΓΗ : http://www.foundalis.com/dep/sci/E2A_gr.htm

» Προεπιστήμονες (“φυσικοί φιλόσοφοι”) της αρχαίας Ελλάδας (μέρος β΄)
» Προεπιστήμονες (“φυσικοί φιλόσοφοι”) της αρχαίας Ελλάδας
» Οι μάγισσες της αρχαίας Ελλάδας.
» Οι επτά σοφοί της Αρχαίας Ελλάδας...
» O ουρανός της αρχαίας Ελλάδας (Φωτογράφος : Λουκάς Χαψής)